《线性代数》期终试卷1

（ 2学时）

本试卷共七大题

一、 填空题 (本大题共7个小题，满分25分)：

1.    (4分) 设 阶 实对称矩阵 的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 , 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是(              )；

2.    (4分) 设 阶矩阵 的特征值为 , , , , 其中 是 的伴随矩阵, 则 的行列式 (        )；

3.    (4分) 设 , , 则 (          )；

4.    (4分) 已知 维列向量组 所生成

的向量空间为 , 则 的维数 dim (           )；

5.    (3分) 二次型 经过正交变换可化为

标准型 , 则 (        )；

6.    (3分) 行列式 中 的系数是(          ) ；

7.    (3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 , 已知 是它的 个解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是(             )。

二、 计算行列式：                               

 (满分10分)

三、设 , , 求 。

(满分10分)

四、 取何值时, 线性方程组 无解或有解？

有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分)

五、设向量组 线性无关 , 问: 常数 满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。

(满分10分)

六、已知二次型 ，

(1)    写出二次型 的矩阵表达式；

(2)    求一个正交变换 ，把 化为标准形, 并写该标准型；

(3)    是什么类型的二次曲面?

(满分15分)

七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）：
1． (7分)设向量组 线性无关 , 向量 能由 线性表示 , 向量

不能由 线性表示 . 证明: 向量组 也线性无关。

2. (8分) 设 是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。