《线性代数》期终试卷3

（ 3学时）

一、填空题 (15’) ：

1 ． 设 向量组 , 它的秩是(         ) ，一个最大线性无关组是 (                   ).

2 ． 已知矩阵 和 相似 , 则 x = (            ).

3 ． 设 是秩为 的 矩阵 , 是 矩阵 , 且 , 则 的秩的取值范围是 (                                        ).

二、计算题：

1 ．(7’) 计算行列式 .

2 ．(8’) 设 , 求 .

3 ．(10’) 已知 维向量空间 的两个基分别为 ; , 向量 . 求由基 到基 的过渡矩阵 ; 并求向量 在这两个基下的坐标.

4 ．(15’) 讨论下述线性方程组 的解的情况；若有无穷多解，则必须求出通解 .

5．(15’ )已知 有一个特征值为 , 求正交阵 , 使得 为对角阵 .

6 ．(10’) 在次数不超过 3的实系数多项式所成的线性空间 中定义线性变换 ? 为 ? = , 求线性变换 ? 在基

下的矩阵 .

三、证明题：

1． (10’) 已知矩阵 与 合同, 矩阵 与 合同, 证明: 分块对角矩阵 与 也 合同 .

2 ．(10’) 设 是正交 矩阵 , , 是 的特征值 , 是相应于特征值 , 的特征向量 , 问 : 与 是否线性相关 , 为什么 ? 与 是否正交 , 为什么 ?